Funktionen

Eine Funktion ist eine Zuordnung, in der jedem Element einer vorgegebenen Menge genau ein Element einer zweiten Menge (Funktionswerte) zugeordnet wird.

Funktionen können dargestellt werden als ...
Text:

Jedem x-Wert wird ein Viertel seine Wertes zugeordnet.

Schaubild: Schaubild Funktion
Wertetabelle:
x 0 1 2 3 4
y 0 0,25 0,5 0,75 1
Funktionsgleichung:

y = ¼x

Aufgabe 1: Ziehe die verschiedenen Darstellungsformen der Funktionen an die richtige Stelle.

Text Jedem x-Wert wird die Hälfte seine Wertes zugeordnet. Jedem x-Wert wird ein gleich großer Wert zugeordnet. Jedem x-Wert wird das doppelte seine Wertes zugeordnet.
Schaubild Funktion Funktion Funktion
Tabelle
Gleichung y = ½x y = x y = 2x


Aufgabe 2: Ergänze die fehlenden Werte der dargestellten Funktion in der Wertetabelle und die darunter stehende Gleichung.

Funktion

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0 0,5 1

Gleichung: y = x

Versuche: 0


Aufgabe 3: Trage die fehlenden y-Werte ein.

a) 

y = 2x

x 0 1 2 3 4
y

b) 

y = x + 3

x 0 1 2 3 4
y

c) 

y = 0,4x

x 0 1 2 3 4
y

d) 

y = 2x + 5

x 0 1 2 3 4
y

Versuche: 0


Aufgabe 4: Ergänze die Gleichungen für folgende Wertetabellen.

a) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 3 6 9 12

b) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 1,5 3 4,5 6

c) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 0,3 0,6 0,9 1,2

d) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 2,3 4,6 6,9 9,2

Versuche: 0


Aufgabe 5: Ergänze die Gleichungen und trage die fehlenden y-Werte ein.

a) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 4 8

b) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 5

c) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 27

d) 

y = x

x 0 1 2 3 4
y 0 0,8

Versuche: 0


Aufgabe 6: Werden einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet, handelt es sich nicht um eine Funktion. Klick an, ob es sich um Schaubilder einer Funktion handelt oder nicht.


Aufgabe 7: Ergänze die Funktionsgleichung so, dass sie zur Zuordnungsvorschrift passt.

Beispiel:
  • Funktion: Zahl → Doppelter Zahlwert
  • Funktionsgleichung: y = 2x
a)  Zahl → siebenfacher Zahlwert y = x
b)  Zahl → halber Zahlwert y = x
c)  Zahl → um eins verminderte Zahl y = x -
d)  Zahl → um zwei verminderte Zahl y = x -
e)  Zahl → zweieinhalbfacher Zahlwert y = x
f)  Zahl → dreifacher Zahlwert vermindert um fünf y = x -

Versuche: 0


Aufgabe 8: Ergänze die jeweilige Funktionsgleichung so, dass sie zur Wertetabelle passt.

Wertetabelle Funktionsgleichung
a) 
kg 1 2 3 4
Preis (€) 1,25 2,50 3,75 5,00
y = x
b) 
kg 10 20 30 40
Preis (€) 14,50 29,00 43,50 58,00
y = x
c) 
kg 5 15 20 25
Preis (€) 9,90 29,70 39,60 49,50
y = x
d) 
kg 6 9 12
Preis (€) 70,20 105,30 140,4
y = x

Versuche: 0


Aufgabe 9: Trage die fehlenden y-Werte ein.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 10: Erstelle eine Wertetabelle mit den ganzzahligen x-Werten von 0 bis 4 für die aufgeführten Funktionsgleichungen.

a) y = 2 · (x + 1,5)

x
y

b) y = 1,5 · (x + 1)

x
y

c) y = ½ · (x - 4)

x
y

d) y = 4 · (x+1)

x
y

Versuche: 0


Proportionale Funktion

Aufgabe 11: Die grafische Darstellung einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Nullpunkt (0|0) mit der Steigung m. Klick unter der Grafik auf die Steuerungstasten um zu sehen, was mit Steigung gemeint ist.

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Legt man an die Gerade ein Steigungsdreieck, lässt sich die Steigung ermitteln, indem die Höhe des Dreiecks durch die Breite des Dreiecks geteilt wird.

m Dreieckshöhe in y-Richtung
Dreiecksbreite in x-Richtung

Steigungsdreieck Steigungsdreieck

Die Gleichung einer proportionalen Funktion lautet y = m · x.
(Die Steigung ist der Faktor von x.)

y = 2x

y = ½x


Aufgabe 12: Stelle den orangen Gleiter auf die unten angegebenen Koordinaten und trage die fehlenden Werte für die proportionale Funktion ein.


Die Werte sind gerundet.


Punkt
Koordinate
Steigung Gleichung
(2|6) m = y = x
(2|5) m = y = x
(6|3) m = y = x
(4|3) m = y = x
(3|6) m = y = x
(4|5) m = y = x

Versuche: 0


Aufgabe 13: Schau dir die Ergebnisse der vorangegangenen Aufgabe an und ziehe die richtigen Werte zur Berechnung der Steigung m in die entsprechenden Felder.

m =  y-Koordinate
x-Koordinate


Aufgabe 14: Ordne die durch die Funktionsgleichungen entsprechend der Steilheit der durch sie entstehenden Geraden.

Geradenrangliste
steilste: y = 3x
zweitsteilste: y = x
drittsteilste: y = 1,2x
viertsteilste: y = x
flachste: y = 0,2x


Aufgabe 15: Gib an, welche unterschiedlichen Steigungen der Fahrradfahrer auf seiner Etappe zu überwinden hat.

Steigung

A B C D
m =  1
m = 
m = 
m = 

Versuche: 0


Info: Graphen proportionaler Funktionen verlaufen durch den Koordinatenursprung (0|0). Vom Ursprung ausgehend lässt sich mit der Steigung ein zweiter Punkt markieren, den die Gerade der Gleichung streift. Ist die Steigung m =  , dann heißt das: Gehe vom Ursprung aus 4 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Durch den dort liegenden Punkt wird die Gerade gezogen.

Graph einer proportionale Funktion
(Steigung m = = 0,75)

Steigung Beispiel

Aufgabe 16: Zieh die orangen Gleiter so, dass die angegebenen Steigungen entstehen. Wandelst du die Dezimalzahlen in einen Bruch um, erhälst du die geigneten Koordinaten [0,75 = ; → P(4|3)].

A B C D E


Aufgabe 17: Trage die fehlenden Koordinaten der Punkte so ein, dass sie zur Funktionsgleichung passen. Die Zeichnung gibt dir einen Hinweis, wie du rechnen kannst.

Funktion-Koordinate-Gleichung

a)  P( |); y = x    b)  P( |); y = x
 
c)  P( |); y = x    d)  P( |); y = x


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 18: Ordne die Koordinaten der Punkte den richtigen Gleichungen zu.

y = 2x P(2|4) P(3|6) P(4|8)
P(4|2) P(6|3) P(8|4)
y = 1,5x P(3|4,5) P(4|6) P(6|9)
P(4,5|3) P(6|4) P(9|6)

y=3x

Durch das richtige Einsetzen der Koordinaten eines Punktes in die Funktionsgleichung wird kontrolliert, ob sich der Punkt auf der Geraden der Gleichung befindet. Stimmen beide Seiten der Gleichung nach dem Einsetzen der Koordinaten überein, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

Aufgabe 19: Gib an, ob folgende Punkte auf den aufgeführten Geraden liegen.

Gleichung

Punkt

richtig

falsch

a) y = 0,5x P(6|3)
b) y = 3x P(12|4)
c) y = x P(3|12)
d) y = 1,2x P(1|2)
e) y = 2,5x P(4|10)


Negative Steigung

Steigung Gefälle
Steigung Gefälle

Bei einem Gefälle ist die Steigung negativ (kleiner als 0). Eine negative Steigung erkennt man am Minuszeichen vor m: y = -mx.


Aufgabe 20: Zieh die orangen Gleiter so, dass die angegebenen negativen Steigungen entstehen.

A B C D E


Aufgabe 21: Eine Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung und jeweils durch den unten angegebenen Punkt. Trage die Steigung der Geraden als Dezimalzahl ein und ergänze entsprechend die Funktionsgleichung.

Punkt Steigung Gleichung   Punkt Steigung Gleichung
a) (3|6) m = y = x b) (-1|3) m = y = x
c) (-4|2) m = y = x d) (|) m = y = x
e) (-3|-12) m = y = x f) (10|1) m = y = x

Versuche: 0


Aufgabe 22: Ordne die Gleichungen den richtigen Graphen zu.

Funktionsgraphen

a) b) c) d)
e) f) g) h)

Aufgabe 23: Zieh die orangen Gleiter so, dass die zugeordnete Gleichung stimmt.

A B C D E


Lineare Funktion
(Schnittpunkt mit der y-Achse)

Funktionsgleichungen wie y = mx gehen immer durch den Nullpunkt. Schneidet eine Gerade die y-Achse an einer anderen Stellen, dann wird dieser Punkt durch die Konstante b angegeben. Die Gleichungen dieser Funktionen haben die Form: y = mx + b oder y = mx - b. Man nennt sie Lineare Funktionen.


Aufgabe 24: Zieh die orangen Gleiter. Du kannst erkennen, was damit gemeint ist, dass Geraden mit gleicher Steigung an unterschiedlichen Stellen die y-Achse schneiden.


Aufgabe 25: Trage die zur Gleichung gehörende Steigung m, den y-Achsenabschnitt b sowie die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse Sy ein.

m b Sy
a) y = 3x + 5 (|)
b) y = - 5,2x + 7 (|)
c) y = 1,5x - 2,6 (|)
d) y = - 6,3x - 4 (|)
e) y = 2x (|)
f) y = 2 (|)

Versuche: 0


Aufgabe 26: Die 5 Geraden sind parallel zueinander. Die rote Gerade c hat die Steigung m = 0,5. Gib die Funktionsgleichungen der jeweiligen Geraden an:

a) y = x

b) y = x + 2

c) y = x

d) y = x

e) y = x

Versuche: 0

Parallele Geraden


Aufgabe 27: Zeichne die Funktion der mittleren Spalte mit Hilfe der Gleiter. Ein Klick auf "Auswertung" zeigt dir, ob du richtig gezeichnet hast.

Funktion

Aufgabe 28: Gib die Funktionsgleichung der Geraden an, die die y-Achse in Punkt P schneiden und die Steigung m haben.

Punkt Steigung Gleichung   Punkt Steigung Gleichung
a) (0|1) m = 2 y = x b) (0|-4) m = y = x
c) (0|-5) m = -3 y = x d) (0|1,5) m = -2 y = x
e) (0|-7) m = y = x f) (0|-0,5) m = -2,5 y = x

Versuche: 0


Aufgabe 29: Vergegenwärtige dir durch das Ziehen der orangen Gleiter nochmals, wie du aus einem Schaubild die jeweilige Funktionsgleichung ermitteln kannst.

  • Stelle die Steigung (m) fest.
    Wenn du von einem Punkt der Geraden einen Schritt nach rechts gehst, wie viele Schritte musst du anschließend noch oben (+) oder nach unten (-) gehen, um wieder auf die Gerade zu gelangen?
  • Stelle den Schnittpunkt an der y-Achse (b) fest.
  • Setze Steigung (m) und Schnittpunkt (b) in die Gleichung y = mx + b ein.


Aufgabe 30: Gib die Funktionsgleichungen für die abgebildeten Geraden an.

Funktionsgraphen

a) y = x - b) y = x -
c) y = x + d) y = x +

Versuche: 0


Aufgabe 31: Gib die Funktionsgleichungen für die abgebildeten Geraden in der Form y =  an.

a) y =     b) y =     c) y = 


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 32: Stelle die Funktionsgleichungen so um, dass die der Form y = mx + b entsprechen. Trage die jeweilige Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b) ein.

y = mx + bmb
a) y = +- b +- mx y = x
b) y +- mx = +- b y = x
c) y +- b = +- mx y = x
d) +- mx + y +- b = 0 y = x
e) ny +- nb = +- nmx y = x
f) +- nmx + ny +-n b = 0 y = x


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 33: Schiebe alle Gleichungen in die Zeile "parallel", deren Geraden parallel zueinander sind.

parallel
y = 3x + 5y = 3x + 2-3x + y = 42y - 4 = 6x-9x + 3y = 3
Rest3x + y = -5-3 + y = xy = 6x + 36x + y = 2x + y - 3 = 0


Punktprobe

Mit der Punktprobe findest du heraus, ob ein bestimmter Punkt auf einer vorgegebenen Geraden mit der Funktionsgleichung y = mx + b liegt. Dafür setzt du die x- und die y-Koordinate des entsprechenden Punktes in die Gleichung ein.

Beispiel:

Gleichung:  y = 5x - 3
Punkte:  P1(1|2) P2(2|1)
Rechnung:  2 = 5 · 1 - 3
2 = 5 - 3
2 = 2
1 = 2 · 5 - 3
1 = 10 - 3
1 ≠ 7
Ergebnis:  P1 liegt auf
der Geraden.
P2 liegt nicht auf
der Geraden.

Aufgabe 34: Ergänze die unteren Punktangaben so, dass der Punkt auf der durch die Funktionsgleichung bestimmten Geraden liegt.


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 35: Zwei Grundstücke werden durch einen Zaun voneinander abgegrenzt. Die 13 Zaunpfosten stehen in einem Abstand von 3 Metern. Der Zaun soll erneuert werden. Beim neuen Zaun haben die Pfosten eine Entfernung von 2,40 m zueinander. Wie viele Pfosten werden für den neuen Zaun benötigt? (Eine Skizze ist hilfreich.)

Zaunfeld

Antwort: Für den neuen Zaun werden Pfosten benötigt.

Versuche: 0


Aufgabe 36: Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. In jeder Stunde steigt der Wasserspiegel um 0,4 m. Die Wasserhöhe des gefüllten Beckens beträgt 2,5 m. Nach wie vielen Stunden ist das Becken gefüllt?

Pegel

Antwort: Das Becken ist nach Stunden gefüllt.

Versuche: 0


Aufgabe 37: Frank wandert pro Stunde 5 km. Eine halbe Stunde später fährt Tom den gleichen Weg mit 15 km/h. Nach wie vielen Kilometern überholt er Frank? Runde auf 2 Nachkommastellen.

Weg - Zeit

Antwort: Tom überholt Frank nach km.

Versuche: 0