Satz des Pythagoras

Kapitolinischer Pythagoras
von: Galilea
Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Original: Hier

Pythagoras von Samos war ein Philosoph des antiken Griechenlands. Er fand heraus, dass die zwei Quadrate, die an den kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gebildet werden können, zusammengenommen genau den gleichen Flächeninhalt haben, wie das Quadrat, dass an der längsten Seite eines solchen Dreiecks zu bilden ist. Diese Erkenntnis spiegelt sich wider in der Formel: a2 + b2 = c2.


Aufgabe 1: Bewege die orangen Gleiter der Grafik. Beobachte dabei das Verhältnis der jeweiligen Flächeninhalte zueinander.


Beweise

Aufgabe 2: Du kannst mit den Puzzleteilen der beiden kleinen rechten Quadrate passgenau das große Quadrat unterhalb des rechtwinkligen Dreiecks ausfüllen. Gezogen werden die Teile an den orangen Gleitern.



Aufgabe 3: Mit der unteren Grafik kann die Richtigkeit vom Satz des Pytagoras bewiesen werden. Bewege die orangen Gleiter und versuche diesen Beweis nachzuvollziehen. Klick dann die richtigen Begriffe im unteren Text an.

  • Das A und das B haben den gleichen Flächeninhalt.
  • Die vier in Quadrat A und Quadrat B haben den gleichen Flächeninhalt.
  • Der Flächeninhalt des blauen Quadrats dem Flächeninhalt von Quadrat A dem Flächeninhalt von 4 Dreiecken.
  • Der Flächeninhalt der beiden kleinen roten Quadrate dem Flächeninhalt von Quadrat B dem Flächeninhalt von 4 Dreiecken.
  • Die Quadrate über den kurzen Dreiecksseiten haben zusammengenommen den Flächeninhalt wie das Quadrat über der langen Dreiecksseite.
  • = c2

Versuche: 0


Info: In einem rechtwinkligen Dreieck habe die Seiten bestimmte Bezeichnungen.
  • Katheten sind die kurzen Seiten, die im 90° Winkel zueinander stehen.
  • Die Hypotenuse ist die längste Seite im Dreieck. Sie liegt gegenüber dem 90° Winkel.
Katheten und Hypotenusen im Dreieck

Flächeninhalte berechnen

Aufgabe 4: Notiere den Satz des Pythagoras für Dreiecke mit anderen Seitenbezeichnungen. Achte auf die beiden kurzen und auf die lange Seite.

Satz des Pythagoras - Bezeichnungen

a) 2 + 2 = 2 b) 2 + 2 = 2
c) 2 + 2 = 2 d) 2 + 2 = 2


Versuche: 0


Aufgabe 5: Trage die Flächeninhalte der Quadrate A, B und C ein.

Pythagoras, c.Quadrat gesucht
Angaben in cm2

Antwort: AA =  cm2; AB =  cm2; AC =  cm2

Versuche: 0


Aufgabe 6: Trage die Flächeninhalte der Quadrate A, B und C ein.

Pythagoras, ab_Quadrat gesucht
Angaben in cm2

Antwort: AA =  cm2; AB =  cm2; AC =  cm2

Versuche: 0


Aufgabe 7: Trage die Flächeninhalte der Quadrate A, B und C ein.

Pythagoras, Dreiecke
Angaben in cm2

Antwort: AA =  cm2; AB =  cm2; AC =  cm2

Versuche: 0


Aufgabe 8: Die Flächeninhalte von zwei Quadraten über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind vorgegeben. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates über der dritten Seite.

rechtwinkliges Dreieck

a) a² = ; b² = ; c² = cm²
b) c² = ; a² = ; b² = cm²
c) c² = ; b² = ; a² = cm²


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 9: Trage die Flächeninhalte der Quadrate A, B und C ein.

Pythagoras
Angaben in cm2

Antwort: AA =  cm2; AB =  cm2; AC =  cm2

Versuche: 0


Aufgabe 10: Trage den jeweiligen Flächeninhalt des gelben Quadrates ein.

Pythagoras, Flächenberechnung

Antworten:
a) Das gelbe Quadrat in Aufgabe a hat einen Flächeninhalt von  cm².
b) Das gelbe Quadrat in Aufgabe b hat einen Flächeninhalt von  cm².

Versuche: 0


Aufgabe 11: Trage die Flächeninhalte der Quadrate A und B ein.

Pythagoras
Angaben in cm2

Antwort: AA =  cm2; AB =  cm2

Versuche: 0


Aufgabe 12: Zwei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind vorgegeben. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates über der dritten Seite.

rechtwinkliges Dreieck

a) a = ; b = ; c² = cm²
b) c = ; a = ; b² = cm²
c) c = ; b = ; a² = cm²


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 13: Quadriere jeweils a, b und c und finde so heraus, ob die Dreiecke mit den folgenden Maßen rechtwinklig sind oder nicht.



Strecken von Flächen berechnen

Info: Aus dem Flächeninhalt eines Quadrates lässt sich durch Wurzelziehen seine Seitenlänge bestimmen. So lässt sich beim rechtwinkligen Dreieck auch die Länge einer Dreiecksseite berechnen, über der das jeweilige Quadrat gebildet wird.
Beispiel
• Flächeninhalt(Qu): a² 16 cm²
• Seitenlänge(Qu): √ = a 16 cm² = 4 cm

Aufgabe 14: Klick die richtigen Terme an.

Formel: a2 + b2 = c2

a² = c² - b²;

b² = c² - a²;

c² = a² + b²

a = ; b = ; c =

Versuche: 0


Aufgabe 15: Trage die jeweilige Länge der Seite c ein.

Pythagoras, Seite c berechnen
Angaben in cm²

Antworten:
a) Die Seite c in Aufgabe a hat eine Länge von  cm.
b) Die Seite c in Aufgabe b hat eine Länge von  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 16: Trage die Länge der Seite a und b ein.

Pythagoras, Seite a und b berechnen
Angaben in cm²

Antworten:
a) Die Seite a in Aufgabe a hat eine Länge von  cm.
b) Die Seite b in Aufgabe b hat eine Länge von  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 17: Trage die jeweilige Länge der Strecke x ein.

Pythagoras, Strecke berechnen

Antworten:
a) Die Strecke x in Aufgabe a hat eine Länge von  cm.
b) Die Strecke x in Aufgabe b hat eine Länge von  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 18: Berechne die rote Strecke der jeweiligen Figur auf den mm genau.

gesucht

Antwort: cm


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 19: Trage die fehlenden Seitenlängen der rechtwinkligen Dreiecke ein. Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

rechtwinkliges Dreieck

a)
a = cm
b = cm
c = cm
b)
a = cm
b = cm
c = cm
c)
a = cm
b = cm
c = cm


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 20: Berechne den Umfang des Rechtecks.

Rechteck

Antwort: Das Rechteck hat einen Umfang von cm

Versuche: 0


Aufgabe 21: Trage für ein Quadrat mit der Seitenlänge a die Länge der Diagonale d ein.

a)
a = cm
d = cm

Runde auf mm.

b)
a = m
d = m

Runde auf cm.

c)
a = km
d = km

Runde auf m.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 22: Trage die Länge der Diagonale im Rechteck ein.

a)
a = cm
b = cm
d = cm

Runde auf mm.

b)
a = m
b = m
d = m

Runde auf cm.

c)
a = km
b = km
d = km

Runde auf m.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 23: Vom Rechteck ist die Länge der Diagonale d und eine Seitenlänge gegeben. Trage die Länge der zweiten Seite ein.

a)
a = cm
b = cm
d = cm

Runde auf mm.

b)
a = m
b = m
d = > m

Runde auf cm.

c)
a = km
b = km
d = > km

Runde auf m.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 24: Berechne den Umfang der Raute.

Raute

Antwort: Die Raute hat einen Umfang von cm

Versuche: 0


Aufgabe 25: Ein rechtwinkliges Dreieck ist mit einem gleichseitigen Dreieck zu einer Figur zusammengesetzt. Berechne den Umfang.

Rechtwinkliges und gleichseitiges Dreieck

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 26: Gib die Länge der Strecke x an.

Dreieck; Pythagoras

Antwort: Die Strecke x ist cm lang.

Versuche: 0


Aufgabe 27: Trage den Umfang des folgenden Dreiecks ein.

Dreieck; Pythagoras

Antwort: Der Umfang beträgt cm.

Versuche: 0


Aufgabe 28: Trage die Länge des Dachsparrens ein, wenn die linke Seite 50 cm übersteht. Berechne auf den cm genau.

Antwort: Der Sparren hat eine Länge von m.

Versuche: 0


Aufgabe 29: Das Verkehrszeichen "16 % Steigung" bedeutet, dass eine Straße auf 100m Länge um 16 Höhenmeter ansteigt. Wie lang ist eine Straße, die auf 100 m um 16 m ansteigt?
Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Steigung

Antwort: Die Straße hat eine Länge von m.

Versuche: 0


Aufgabe 30: Die rot markierten Seile der Brücke müssen ersetzt werden. Wie viel Meter Seil werden dafür benötigt?

Antwort: Für den Austausch braucht man ,81 m Seil.

Versuche: 0


Aufgabe 31: Eine Leiter ist 5 Meter lang. Bis in welche Höhe reicht sie, wenn aus 1,40 m Entfernung an die Wand gelehnt wird?

Antwort: Die Leiter trifft in m Höhe an die Wand.

Versuche: 0


Aufgabe 32: Ein Schwimmer wird beim Durchqueren eines Flusses von 70 m Breite durch eine starke Strömung 40 m abgetrieben. Trage die geschwommene Strecke ein. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Antwort: Der Schwimmer legt eine Strecke von m zurück.

Versuche: 0


Aufgabe 33: Ein Baum wurde bei einem Sturm 8 m über dem Boden abgeknickt. Seine Spitze berührt in 15 Metern Entfernung den Boden. Wie hoch war der Baum vor dem Sturm?

Antwort: Der Baum hatte eine Höhe von m.

Versuche: 0


Aufgabe 34: Ein Funkmast ist 102 Meter hoch. In allen 4 Himmelsrichtungen soll 56 Meter vom Fuß des Masten entfernt ein Halteseil 1,5 Meter ins Erdreich hinein betoniert werden. Jedes der 4 Seile wird an einer Manschette befestigt, die sich 12 Meter unter der Funkmastspitze befindet. Wie viel Meter Seil werden insgesamt benötigt?

Antwort: Die 4 Seile haben zusammengenommen eine Länge von m.

Versuche: 0


Aufgabe 35: Um wie viele Kilometer ist der rote Weg länger als der grüne?

Pythagoras Wegstrecke

Antwort: Der rote Weg ist km länger als der grüne.

Versuche: 0


Aufgabe 36: Trage den Umfang der roten Figur ein.

Pythagoras, Strecke

Antwort: Der Umfang der Figur beträgt  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 37: Trage den Umfang der Figur ein.

Pythagoras, Strecke

Antwort: Der Umfang der Figur beträgt  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 38: Wie hoch ist der dargestellte Damm und wie lang ist die Böschung b?

Damm - Pythagoras

Antworten:
a) Der Damm hat eine Höhe von cm.
b) Die Böschung b ist cm lang.

Versuche: 0


Aufgabe 39: Trage die Länge der unteren Trapezseite ein.

Pythagoras, Trapez

Antwort: Die untere Trapezseite ist  cm lang.

Versuche: 0


Aufgabe 40: Trage die Länge der Diagonale des Quadrates ein. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

Pythagoras, Quadrat, Diagonale

Antwort: Die Diagonale ist  cm lang

Versuche: 0


Strecken und Flächeninhalte berechnen

Aufgabe 41: Trage den Flächeninhalt des Dreiecks (a) und des Parallelogramms (b) ein.

Pythagoras, Parallelogramm, Dreieck

Antworten:
a) Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von m².
b) Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von m².

Versuche: 0


Aufgabe 42: Trage den jeweiligen Flächeninhalt der Trapeze ein.

Pythagoras, Trapeze

Antworten:
a) Trapez a hat einen Flächeninhalt von dm².
b) Trapez b hat einen Flächeninhalt von dm².

Versuche: 0


Aufgabe 43: Trage den Flächeninhalt des orangen Dreiecks ein.

Pythagoras, 3 rechtwinklige Dreiecke

Antwort: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt  cm2.

Versuche: 0


Aufgabe 44: Trage den ganzzahligen Wert des Flächeninhalts vom Halbkreis ein.

Rechtwinkliges Dreieck; Halbkreis

Antwort: Der Flächeninhalt des Halbkreises beträgt ,8 cm2.

Versuche: 0


Aufgabe 45: Trage den Flächeninhalt der violetten Fläche ein. Runde auf ganze cm2.

Rechteck in Kreis, Pythagoras

Antwort: Der violette Bereich hat einen Flächeninhalt von  cm2

Versuche: 0


Pythagoreisches Fenster
ABCD (1)

Aufgabe 46: Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3, 4, 5 lässt sich so durch ein quadratisches "Fenster" umschließen, dass die Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate und des Hypothenusenquadrats in ganzzahlige Verhältnisse unterteilt werden. Ziehe an der orangen Ecke des pythagoräischen Fensters und schätze, wie oft das graue Dreieck in die bunten Flächen hineinpasst.


In die Fläche mit folgender Farbe              
geht das graue Dreieck so oft hinein: 

Versuche: 0


Pythagoreisches Fenster
ABCD (2)

Aufgabe 47: Im Pythagoräischen Fenster stehen noch weitere Strecken und Flächen in einem ganzzahligen Verhältnis. Die roten Zahlen zeigen die Verhältniswerte der Flächen, die blauen Zahlen die Verhältniswerte der Strecken zueinander an. Kontrolliere die Angaben, indem du hinter die blauen Zahlen die Einheit cm und hinter die roten Zahlen die Einheit cm² setzt. Berechnest du nun mit den blauen Längenangaben eine Fläche, dann ist das Ergebnis die rote Flächenangabe.

Hilfe: Länge und Breite eines Gitterkästchens betragen in diesem Fall √1/5 cm.



von Hartwig Runge alias Ingo Graf

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Strecken von Räumen berechnen

Aufgabe 48: Berechne die rote Strecke des jeweiligen Körpers auf den mm genau.

Pyramide
(Dreieckshöhe)
Angaben in cm

Länge = cm

Quader
(Raumdiagonale)
Angaben in cm

Länge = cm

Kegel
(Höhe)
Angaben in cm

Länge = cm


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 49: Trage die Länge der folgenden Strecken des Quaders ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

Pythagoras, Quader

A F  =  cm; C F  =  cm; A G  =  cm;

Versuche: 0


Aufgabe 50: Trage den Flächeinhalt des orangen Dreiecks unten ein.

Dreieck in Quader

Die Dreiecksfläche beträgt  cm2.

Versuche: 0


Aufgabe 51: Trage die Höhe der Pyramide ein. ( A C  = 112 cm;  A S  = 106 cm)

Pythagoras, Pyramide

Antwort: Die Pyramide ist  cm hoch.

Versuche: 0