Trigonometrie

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Dreieck

Die Trigonometrie macht sich die Ähnlichkeit von Dreiecken zunutze. Hat ein rechtwinkliges Dreieck wie im rechten Beispiel einen Winkel von 30°, dann liegt das Längenverhältnis zwischen der roten und der grünen Linie bei 1 zu 2 (½). Ist also die rote Strecke 1 cm lang, dann ist die grüne Strecke 2 cm lang. Misst die rote Strecke 2 cm, dann misst die grüne Strecke 4 cm usw. Bei rechtwinkligen Dreiecken sind für jeden beliebigen Winkel mittels Taschenrechner die jeweilige Seitenverhältnisse abrufbar. Das ermöglicht es entweder, mit einem Winkel und einer Seitenlänge die zweite Seitenlänge zu bestimmen oder mit zwei Seitenlängen den dazugehörigen Winkel zu bestimmen.

Beispiel:
Winkel → 30°
Seitenverhältnis (rot/grün) → ½
gegebene grüne Strecke → 6 cm
gesuchte rote Strecke → 6 cm · ½ = ? cm

Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse

Die Trigonometrie gibt an, welches Längenverhältnis die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bei einem bestimmten Winkel haben. Um für Klarheit zu sorgen, werden die Seiten mit eigenen Namen belegt. Die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, nennt man Katheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (die längste Seite), heißt Hypotenuse.

  • Ankathete: Die an einen Winkel anliegende Kathete bezeichnet man als Ankathete des Winkels.
  • Gegenkathete: Die einem Winkel gegenüberliegende Kathete nennt man Gegenkathete des Winkels.

Rechtwinkliges Dreieck


Aufgabe 1: Ordne die Begriffe den richtigen Farben der Dreiecksseiten zu.


Seitenverhältnisse von Sinus, Kosinus und Tangens

Info: Das Längenverhältnis der Seiten bei einem entsprechenden Winkel wird folgendermaßen bezeichnet:

  • Der Sinus (kurz: sin) eines Winkels ist das Längenverhältnis aus der Gegenkathete dieses Winkels und der Hypotenuse.
    sin φ = Gegenkathete sin α = a ;  sin β = b
    Hypotenuse c c

  • Der Kosinus (kurz: cos) eines Winkels ist das Längenverhältnis aus der Ankathete dieses Winkels und der Hypotenuse.
    cos φ = Ankathete cos α = b ;  cos β = a
    Hypotenuse c c

  • Der Tangens (kurz: tan) eines Winkels ist das Längenverhältnis aus der Gegenkathete dieses Winkels und der Ankathete.
    tan φ = Gegenkathete tan α = a ;  tan β = b
    Ankathete b a

Aufgabe 2: Trage die Buchstaben der Seiten so ein, dass die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensangaben richtig sind.

Sinus   Kosinus   Tangens
a1)

Dreieck

sin α =  sin β = 
b1)

Dreieck

cos α =  cos β = 
c1)

Dreieck

tan α =  tan β = 
         
a2)

Dreieck

sin α =  sin β = 
b2)

Dreieck

cos α =  cos β = 
c2)

Dreieck

tan α =  tan β = 

Versuche: 0


Sinusaufgaben

  →  Gegenkathete
Hypotenuse

Aufgabe 3: Stelle den Winkel α des Dreiecks mit Hilfe des weißen Gleiters auf die jeweilige Gradzahl der Tabelle ein. Übertrage dann die gesuchten Werte.

sin α =  a1  =   =  a2  =   = 
c1 10 cm c2
Die Werte sind gerundet.

Dreieck α a1 c1
sin α (a1)
c1
a) 10° 1,74 cm 10 cm 0,174
b) 20° cm 10 cm
c) 30° cm 10 cm
d) 40° cm 10 cm
e) 50° cm 10 cm
f) 60° cm 10 cm
g) 70° cm 10 cm
h) 80° cm 10 cm

Versuche: 0


Aufgabe 4: Trage die Buchstaben der Seiten so ein, dass die Sinusangaben richtig sind.

a)   b)
Rechtwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck
sin α =  sin β = 
sin α =  sin β = 

Versuche: 0


Aufgabe 5: Trage die Sinuswerte der angezeigten Winkel in die Textfelder ein. Runde auf die vierte Nachkommastelle.

a) sin ° = b) sin ° =
c) sin ° = d) sin ° =


richtig: 0falsch: 0

Info: Seitenlängen mit dem Sinus berechnen

Der Sinus eines Winkels ermöglicht es beim rechtwinkligen Dreieck, die Länge seiner Gegenkathete oder der Hypotenuse zu berechnen.

Dreieck

sin α = a
c

a = sin α · c

c = a
sin α
sin β = b
c

b = sin β · c

c = b
sin β

Aufgabe 6: Berechne die Länge der roten Seiten und trage sie in das zugehörige Textfeld ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

a)   b)
Dreieck, Sinus Dreieck, Sinus
a = cm b = cm
c) d)
Dreieck, Sinus Dreieck, Sinus
c = cm c = cm

Versuche: 0


Aufgabe 7: Ein Dreieck hat die Winkel

Antwort: Die Seite ist cm lang. Kürze auf eine Stelle nach dem Komma.


richtig: 0falsch: 0

Info: Einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe des Seitenverhältnisses von Gegenkathete zu Hypotenuse (Sinus) berechnen.

Teilt man die Gegenkathete eines Winkels durch die Hypotenuse , so erhält man seinen Sinuswert. Wird dieser Wert in die Umkehrfunktion des Sinus (Arkussinus) eingegeben, so erhält man die Größe des Winkel.

Beispiel:

  • a = 3 cm; c = 6 cm; γ = 90°
  • 3 = sin α = 0,5
    6
  • α = 30° (Arkussinus von 0,5)

Aufgabe 8: Trage die Winkel zu den angegebenen Sinuswerten ein. Runde auf ganze Gradangaben.

a) sin α = b) sin α =
α = ° α = °
 
c) sin β = d) sin β =
β = ° β = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 9: In einem Dreieck ist der Winkel γ rechtwinklig (90°). Runde auf ganze Gradangaben.

a) Wie groß ist der Winkel α, wenn sin β = ?
b) Wie groß ist der Winkel β, wenn sin α = ?

Antwort: α = °; β = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 10: Bestimme die Winkel α und β. Runde auf eine Nachkommastelle.

a)   b)
Rechtwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck
α = °     β = ° α = °     β = °

Versuche: 0


Aufgabe 11: Trage den gesuchten Winkel (α oder β) des rechtwinkligen Dreiecks mit γ = 90° ein. Runde auf ganze Gradangaben.

α = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 12: Wie groß ist bei folgender Skaterrampe der Steigungswinkel α? Runde auf eine Nachkommastelle.

Skaterrampe

Antwort: Der Steigungswinkel α beträgt °

Versuche: 0


Kosinusaufgaben

  →  Ankathete
Hypotenuse

Aufgabe 13: Trage die Buchstaben der Seiten so ein, dass die Kosinusangaben richtig sind.

a)   b)
Rechtwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck
cos α =  cos β = 
cos α =  cos β = 

Versuche: 0


Aufgabe 14: Trage die Kosinuswerte der angezeigten Winkel in die Textfelder ein. Runde auf die vierte Nachkommastelle.

a) cos ° = b) cos ° =
c) cos ° = d) cos ° =


richtig: 0falsch: 0

Info: Seitenlängen mit dem Kosinus berechnen

Der Kosinus eines Winkels ermöglicht es beim rechtwinkligen Dreieck, die Länge seiner Ankathete oder der Hypotenuse zu berechnen.

Dreieck

cos α = b
c

b = cos α · c

c = b
cos α
cos β = a
c

a = cos β · c

c = a
cos β

Aufgabe 15: Berechne die Länge der roten Seiten und trage sie in das zugehörige Textfeld ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

a)   b)
Dreieck, Cosinus Dreieck, Cosinus
a = cm b = cm
c) d)
Dreieck, Cosinus Dreieck, Cosinus
c = cm c = cm

Versuche: 0


Aufgabe 16: Ein Dreieck hat die Winkel

Antwort: Die Seite ist cm lang. Kürze auf eine Stelle nach dem Komma.


richtig: 0falsch: 0

Info: Einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe des Seitenverhältnisses von Ankathete zu Hypotenuse (Kosinus) berechnen.

Teilt man die Ankathete eines Winkels durch die Hypotenuse, so erhält man seinen Cosinuswert. Wird dieser Wert in die Umkehrfunktion des Kosinus (Arkuskosinus) eingegeben, so erhält man die Größe des Winkel.

Beispiel:

  • b = 3 cm; c = 6 cm; γ = 90°
  • 3 = cos α = 0,5
    6
  • α = 60° (Arkuskosinus von 0,5)

Aufgabe 17: Trage Winkel zu den angegebenen Kosinuswerten ein. Runde auf ganze Gradangaben.

a) cos α = b) cos α =
α = ° α = °
 
c) cos β = d) cos β =
β = ° β = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 18: In einem Dreieck ist der Winkel γ rechtwinklig (90°). Runde auf ganze Gradangaben.

a) Wie groß ist der Winkel α, wenn cos β = ?
b) Wie groß ist der Winkel β, wenn cos α = ?

Antwort: α = °; β = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 19: Bestimme die Winkel α und β. Runde auf ganze Gradangaben.

a)   b)
Rechtwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck
α = ° β = °

Versuche: 0


Aufgabe 20: Trage den gesuchten Winkel (α oder β) des rechtwinkligen Dreiecks mit γ = 90° ein. Runde auf ganze Gradangaben.

α = °


richtig: 0falsch: 0


Tangensaufgaben

  →  Gegenkathete
Ankathete

Aufgabe 21: Trage die Buchstaben der Seiten so ein, dass die Tangensangaben richtig sind.

a)   b)
Rechtwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck
tan α =  tan β = 
tan α =  tan β = 

Versuche: 0


Aufgabe 22: Trage die Tangenswerte der angezeigten Winkel in die Textfelder ein. Runde auf die vierte Nachkommastelle.

a) tan ° = b) tan ° =
c) tan ° = d) tan ° =


richtig: 0falsch: 0

Info: Seitenlängen mit dem Tangens berechnen

Der Tangens eines Winkels ermöglicht es beim rechtwinkligen Dreieck, die Länge seiner Gegenkathete oder seiner Ankathete zu berechnen.

Dreieck

tan α = a
b

a = tan α · b

b = a
tan α
tan β = b
a
a = b
tan β

b = tan β · a

Aufgabe 23: Berechne die Länge der roten Seiten und trage sie in das zugehörige Textfeld ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

a)   b)
Dreieck, Tangens Dreieck, Tangens
a = cm b = cm
c) d)
Dreieck, Tangens Dreieck, Tangens
b = cm a = cm

Versuche: 0


Aufgabe 24: Ein Dreieck hat die Winkel

Antwort: Die Seite ist cm lang. Kürze auf eine Stelle nach dem Komma.


richtig: 0falsch: 0

Info: Einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe des Seitenverhältnisses von Gegenkathete zu Ankathete (Tangens) berechnen.

Teilt man die Gegenkathete eines Winkels durch seine Ankathete, so erhält man seinen Tangenswert. Wird dieser Wert in die Umkehrfunktion des Tangens (Arkustangens) eingegeben, so erhält man die Größe des Winkel.

Beispiel:

  • a = 5 cm; b = 5 cm; γ = 90°
  • 5 = tan α = 1
    5
  • α = 45° (Arkustangens von 1)

Aufgabe 25: Trage Winkel zu den angegebenen Tangenswerten ein. Runde auf ganze Gradangaben.

a) tan α = b) tan α =
α = ° α = °
 
c) tan β = d) tan β =
β = ° β = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 26: In einem Dreieck ist der Winkel γ rechtwinklig (90°). Runde auf ganze Gradangaben.

a) Wie groß ist der Winkel α, wenn tan β = ?
b) Wie groß ist der Winkel β, wenn tan α = ?

Antwort: α = °; β = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 27: Bestimme die Winkel α und β. Runde auf ganze Gradangaben.

a)   b)
Rechtwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck
α = °     β = ° α = °     β = °

Versuche: 0


Aufgabe 28: Trage den gesuchten Winkel (α oder β) des rechtwinkligen Dreiecks mit γ = 90° ein. Runde auf ganze Gradangaben.

α = °


richtig: 0falsch: 0


Gemischte Aufgaben

Aufgabe 29: Ein Dreieck hat die Winkel

Antwort: Die Seite ist cm lang. Kürze auf eine Stelle nach dem Komma.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 30: Trage den gesuchten Winkel (α oder β) des rechtwinkligen Dreiecks mit γ = 90° ein. Runde auf ganze Gradangaben.

α = °


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 31: Klick in den Winkelfunktionen die zum Dreieck passenden Werte an.

Dreieck

cos β =  cos γ = 

Versuche: 0


Aufgabe 32: Eine quadratische Pyramide ist 220 m lang. Ihre Spitze wird 161 m von der Bodenkante entfernt in einem Winkel von 22° angepeilt. Wie hoch ist die Pyramide? Runde auf eine Nachkommastelle.

Rote Pyramide

Die Pyramide hat eine Höhe von m.

Versuche: 0


Aufgabe 33: Die Strecke eines Seifenkistenrennens weist auf den ersten 40 Metern ein Gefälle von 18° auf. Die folgenden 116 Meter bis zum Ziel haben ein Gefälle von 8°. Welcher Höhenunterschied besteht zwischen Start und Ziel? Runde auf eine Nachkommastelle.

Rennstrecke

Der Start der Rennstrecke liegt m über dem Ziel.

Versuche: 0


Aufgabe 34: 

Zwei ein Meter breite Mauern stehen parallel im Abstand von 6,50 m zueinander. Die eine ist 7,00 m die andere 4,08 m hoch. Der Zimmermann soll beide Mauern mit einem Schrägdach verbinden.
a) In welchem Winkel (α) steht die Dachschräge zu den Auflageflächen der Mauern?
b) Wie lang ist die Dachschräge?

Zwei Mauern mit Schrägdach; Trigonometrie

a) Der Winkel α beträgt °. (Runde auf eine Nachkommastelle.)
b) Die Dachschräge hat eine Länge von cm. (Runde auf mm.)

Versuche: 0


Aufgabe 35: Die Talstation einer Seilbahn befindet sich in einer Höhe von 1 258 m. Der durchschnittliche Steigungswinkel beträgt α = 15°. Das Stahlseil hat eine Länge von 2,5 km. Trage die Höhe der Bergstation ein. Runde auf ganze Meter.

Trigonometrie, Seilbahn

Die Bergstation befindet sich in einer Höhe von m.

Versuche: 0


Aufgabe 36: Die Sehne eines Betonkegels hat einen Winkel von 65° zur Grundfläche. Der Umfang des Kegels beträgt 3,78 m. Welche Höhe hat er? Runde auf Zentimeter.

Kegel

Der Kegel ist m hoch.

Versuche: 0


Aufgabe 37: Trage die Länge der Strecke CD ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

Dreieck

Die Strecke CD ist cm lang.

Versuche: 0


Aufgabe 38: 

a) Trage die Länge der Strecke CD ein. Runde auf zwei Nachkommastellen.
b) Trage den Winkel β ein. Runde auf ganze Grad.

Dreieck

a) Die Strecke CD ist cm lang.
b) Der Winkel β beträgt °.

Versuche: 0


Aufgabe 39: Die Seiten einer Stehleiter haben eine Läng von 3 Metern. Der Öffnungswinkel beträgt 42°. Welche Höhe hat die Leiter? Runde auf cm.

Leiter

Die Leiter hat eine Höhe von m.

Versuche: 0


Aufgabe 40: Trage die Größen der Winkel ε und ζ ein. Runde auf ganze Gradangaben.

Rechteck

ε = °   ζ = °

Versuche: 0


Aufgabe 41: Trage den Winkel α des Trapezes ein. Runde auf ganze Gradangaben. Berechne anschließend den Umfang (u) und trage den ganzzahligen Teil davon ein.

Trapez

α = °   u = ,2 cm

Versuche: 0


Aufgabe 42: Trage den Flächeninhalt des gleichschenkligen Trapezes ein. Runde auf ganze Quadratzentimeter.

Trapez

Das gleichschenklige Trapez hat eine Fläche von cm².

Versuche: 0


Aufgabe 43: Trage die Länge der Sehne s ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

Kreissehne

Die Sehne ist cm lang.

Versuche: 0


Aufgabe 44: 

Das durch die grüne Umrandung angedeutete gleichseitige Dreieck hat die Seitenlänge a = 10 cm.
a) Welchen Radius (r) hat der Umkreis des Dreiecks?
b) Welchen Flächeninhalt hat der gelbe Pfeil?
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Rechne aber immer mit allen Nachkommastellen.

Dreieck in Kreis

a) Der Umkreis hat einen Radius von cm.
b) Der gelbe Pfeil hat eine Fläche von cm².
Runde auf eine, rechne mit allen Nachkommastellen.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 45: Die Schenkellänge eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt . Beide Schenkel bilden einen Winkel von . Wie lang ist die Basis dieses Dreiecks? Runde deinen Eintrag auf eine Nachkommastelle.

Die Basis ist cm lang.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 46: Aus einem gleichschenkligen Dreieck wurde eine gleichschenklige Kerbe geschnitten, sodass der untere Pfeil entstand. Trage die fehlenden ganzzahligen Werte der jeweiligen Winkel ein.


Skizze nicht maßstabsgetreu

α = ,° | β = ,° | γ = ,°


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 47: In einem regelmäßigen Fünfeck ist eine Seite 8 cm lang. Welchen Flächeninhalt hat das Fünfeck? Runde auf ganze Quadratzentimeter.

Fünfeck

AFünfeck = cm²

Versuche: 0


Aufgabe 48: Trage den ganzzahligen Wert des Winkels α ein, der durch die Flächen- und die Raumdiagonale im Würfel gebildet wird. Mit dem Satz von Pythagoras kannst du die Längen der Diagonalen berechnen.

Würfel

α = ,3°

Versuche: 0


Aufgabe 49: Bei der unteren Figur sind das gleichschenklige Trapez ABCD und das rechtwinklige Dreieck ABE gegeben. Die Strecke AB = 24 cm und die Strecke CD = 16,5 cm. Wie lang ist die Strecke DE?

Trapez und Dreieck

Die Strecke DE ist cm lang.

Versuche: 0


Aufgabe 50: Der Bordcomputer eines Kleinflugzeuges, das in 800 m Höhe fliegt, berechnet anhand der in der Grafik aufgeführten Daten die Länge der Landebahn. Trage die Landebahnlänge unten ein. Runde auf Meter.

Landebahn

Die Landebahn ist m lang.

Versuche: 0


Aufgabe 51: Trage die Länge der Dachschräge (x) des Turmes ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

Turmdach Schräge

Die Schräge des Turmdaches hat eine Länge von m.

Versuche: 0


Aufgabe 52: Aus einer quadratischen Pappe mit der Seitenlänge 72 cm wird der Mantel einer quadratischen Pyramide ausgeschnitten. Welches Volumen hat die Pyramide? Runde auf die Hunderterstelle.

Die Pyramide hat ein Volumen von 00 cm³.

Versuche: 0


Aufgabe 53: Die Seite a des unteren Quadrates ist lang. Wie groß ist die grün markierte Fläche? Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Der Flächeninhalt des grünen Vierecks beträgt  cm2.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 54: Im gleichschenkligen Dreieck ABC gilt: ADreieck = 360 cm2 und h · tan58° = c : 2. Berechne den Umfang des Dreiecks. Runde auf eine Nachkommastelle.

Dreieck

Der Umfang des Dreiecks beträgt  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 55: Eine Turmspitze wird aus zwei Bodenpunkten (A: 25°, B: 48°) angepeilt, die 50 Meter voneinander entfernt sind. Trage die ganzzahlige Höhe des Turmes ein. Die Gleichungen helfen dir beim Rechnen.

Trigonometrie
RPG map symbols:
Round Tower with Flag
von: nicubunu
Lizenz: Public Domain
Original: Hier

Der Turm ist ,19 m hoch.

Versuche: 0


Allgemeine Dreiecke

Zerlegst du allgemeine Dreiecke über ihre Höhe in rechtwinklige Dreiecke, dann kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens fehlende Seiten und Winkel berechnen.

Aufgabe 56: Klick auf den unteren "weiter"-Button und sieh dir an, wie die fehlenden Größen eines allgemeinen Dreiecks berechnet werden können.

Beispiel:

Dreieck

Ein allgemeines Dreieck hat die Winkel α 62° und β 42°. Die Seite c ist 85 cm lang.


Aufgabe 57: Berechne den Winkel γ sowie die Seiten a und b. Trage die ganzzahligen Ergebnisse unten ein.

γ = °;   a = , cm;   b = , cm


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 58: Die Entfernung zwischen zwei Leuchttürmen beträgt . Von Leuchtturm A ist das Schiff in einem Winkel von zu sehen. An Leuchtturm B beträgt der Winkel . Wie weit ist das Schiff von beiden Leuchttürmen entfernt? Trage die fehlenden ganzzahligen Werte ein.

Das Schiff ist von Leuchtturm A , km und von Leuchtturm B , km weit entfernt.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 59: Die Skizze unten gibt an, wie weit zwei Türme von einem Aussichtspunkt entfernt sind und in welchem Winkel die Messstrecken zueinander stehen. Wie weit sind die beiden Türme voneinander entfernt? Runde auf ganze Kilometer.

Die zwei Türme stehen  km voneinander entfernt.


richtig: 0falsch: 0